Question

তপন স্যার এবং আমির হোসেন স্যার এর বইয়ের ভেক্টর চ্যাপ্টারের কার্ল এর তাৎপর্য তে বলা আছে যে কার্ল এর গ্রাডিয়েন্ট/নতিমাত্রা শূন্য।এইটা কি সত্যি?কার্ল নিজেই তো একটা ভেক্টর রাশি, এর গ্রাডিয়েন্ট তো তাইলে আসবে না,এখানে কি হওয়া উচিৎ ছিলো না যে কার্ল এর ডাইভারজেন্স শূন্য!

Answer 1

বইতে এটাও বলা আছে কোন ভেক্টর ক্ষেত্রে কার্লের ডাইভারজেন্স শুন্য । এখানে ভেক্টর অপারেটরের সাথে একটি ভেক্টর রাশির ডটগুনন করা হয় । গ্রেডিয়েন্ট এর ক্ষেত্রেও ভেক্টর অপারেটরের সাথে একটি ভেক্টর রাশিরই ডটগুনন হয় । একারণেই মেবি বলা আছে গ্রেডিয়েন্টও শুন্য হয়।

Comments

গ্রেডিয়েন্ট এর ক্ষেত্রে ভেক্টর অপারেটর এর সাথে স্কেলার রাশির সাধারণ গুন করা হয় আমার জানা মতে।ডট গুনন হলেই সেটা ডাইভারজেন্স হয়ে যায়।কারন ডাইভারজেন্স স্কেলার রাশি আর গ্রাডিয়েন্ট ভেক্টর রাশি। 

N.B.আমির সর আর তপন স্যারের বইয়ে মনে হয় বলা নাই যে কার্লের ডাইভারজেন্স শূন্য 

---

ও হ্যা গ্রেডিয়েন্ট সাধারন গুনন।গ্রেডিয়েন্টে স্কেলার ক্ষেত্র থেকে ভেক্টর ক্ষেত্রে পরিবর্তন। আর স্কেলার ক্ষেত্র হতে ভেক্টর ক্ষেত্রে উত্তরণের কৌশলী হচ্ছে স্কেলার ক্ষেত্রটির নতিমাত্রা গ্রহণ করা ।

আর ডাইভারজেন্স শুন্য এটা তপন স্যারের বইয়ে কার্লের ব্যাখ্যার লাস্ট লাইনে বলা আছে ।

Answer 2

​​​​​গ্রেডিয়েন্ট হলো কোনো স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে পরিণত করে তার সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হার বের করা. এক্ষেত্রে ডেল অপারেটর এর সাথে স্কেলার রাশির ডট গুননে একটা ভেক্টর রাশি পাওয়া যায়.  ডাইভারজেন্স হলো একটা ভেক্টর রাশিকে স্কেলার রাশিতে পরিণত করে তার সর্বোচ্চ ফ্লাক্সের পরিমাণ বের করা.  এখানে ডেল অপারেটর এর সাথে ভেক্টর রাশির ডট গুনণে একটা স্কেলার রাশি পাওয়া যায় ।

আবার কার্ল হলো একটা ভেক্টর রাশিকে ভেক্টর রাশিতে পরিণত করে তার একক ক্ষেত্রফলে সর্বাধিক রেখা ইন্টিগ্রাল পাওয়া.  যেখানে ডেল অপারেটর দিয়ে ভেক্টর রাশিকে ক্রস গুনন করিয়ে একটা ভেক্টর রাশি পাওয়া যায় 

তাহলে সব গাণিতিক ফলাফল  হিসেবে, 

কার্লকে গ্রেডিয়েন্ট করলে তা সংজ্ঞা পরিপন্থী হয়ে যায় আর ডাইভারজেন্স করলে তা সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়. 

তাই প্রদত্ত প্রশ্নের যথার্থটা আছে এবং সঠিক হলো যে কার্লের ডাইভারজেন্স শুন্য গ্রেডিয়েন্ট নয়!!