৬÷২(২+১) এবং ৮÷২(৩+১) : কেন একই অংক দুই ক্যালকুলেটরে দুইরকম দেখায় ? - ScienceBee প্রশ্নোত্তর

বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির প্রশ্নোত্তর দুনিয়ায় আপনাকে স্বাগতম! প্রশ্ন-উত্তর দিয়ে জিতে নিন পুরস্কার, বিস্তারিত এখানে দেখুন।

+4 টি ভোট
1,193 বার দেখা হয়েছে
"গণিত" বিভাগে করেছেন (430 পয়েন্ট)
সম্পাদিত করেছেন

1 উত্তর

0 টি ভোট
করেছেন (71,130 পয়েন্ট)

"ক্যাসিও ভূুত"

বিখ্যাত দুই অংক :

৮÷২(৩+১) ... …. …. (রাশি 1)

৬÷২(২+১) ... …. .… (রাশি 2)

প্রথমটির উত্তর ১ না ১৬ এবং দ্বিতীয়টির উত্তর ১ না ৯, তা নিয়ে শুধু বাংলাদেশ নয় বরং কয়েক দশক ধরেই বিশ্বের লক্ষ লক্ষ মানুষের মাঝে বিতর্ক রয়েছে । বিশেষ করে বাংলাদেশে যারা ১৬ বা ৯ বলছে, তাদের কাছে যুক্তি আছে । আর যারা ১ বলছে, তাদের ৯৯.৯৯% জানেই না কেন তারা ১ বলেছে । ১ নিয়ে যে যুক্তি তারা দেখায় তা শতভাগ ভুল ! আর এ জায়গাটা আসলেই ভয় পাওয়ার মতো কেননা এ তালিকায় 'শিক্ষক' মহলের নামও রয়েছে । তাদের ভুলটা কোথায় তা নিয়ে শেষে আলোচনা করবো । তার আগে আসল সমস্যাটা নিয়ে আলোচনা করা যাক ।

প্রায় বছর দেড়েক আগে শ্রদ্ধেয় গণিতবোদ্ধা, চমক হাসান ভাইয়ের এক পোস্টের পর ৬÷২(২+১) সমস্যাটা পুনরায় আলোচনায় আসে এবং 'তথাকথিক' BODMAS নিয়ম নিয়ে আরো একবার গবেষণা হয় । চমক ভাই পুরোপুরি নিরপেক্ষ ব্যাখ্যা দাঁড় করান তবুও উনার রেজাল্টটা অনেকটাই ৯-ঘেঁষা । এ জায়গায় কিছু মিসিং লিংক ছিল তা বলবো এবং কেন ৯ বা ১৬ গ্রান্টেড মেনে নেয়া উচিত না তা-ও আমি ব্যাখ্যা করবো (নিঃসন্দেহে চমক ভাইয়ের সাথে আমি কোনোরকম দ্বিমত পোষণ করতে যাচ্ছি না)। তার আগে বলি জনপ্রিয় BODMAS, BEDMAS, BIDMAS বা GEMDAS, এরা হচ্ছে কানাডা, ব্রিটেন, অস্ট্রেলিয়া, এশিয়া, আফ্রিকার । শুধু আমেরিকায় PEMDAS বেশি জনপ্রিয় । PEMDAS মানে Parentheses, Exponent, Multiplication, Division, Addition, Subtraction । আমেরিকার বাচ্চারা একে বলে "Please Excuse My Dear Aunt Sally" । এখানে ভাগের আগে গুণ হয় । আমাদের এই লেখার জন্য আমরা BODMAS-এর পরিবর্তে PEMDAS ব্যবহার করব, কারণ ক্যালকুলেটরে PEMDAS ব্যবহার করা হয় আর ঝামেলাটা এখানেই ।

 

BODMAS/PEMDAS অনুযায়ী :

৬÷২(২+১)

=৬÷২(৩) [এখানে ব্র্যাকেট বা Parentheses আগে]

=৬÷২×৩ [Juxtaposition বা Implicit Multiplication অনুযায়ী ব্র্যাকেট উঠে গেলে গুণ হবে]

 

এখন আসি আসল খেলায় । বাংলাদেশী যারা উত্তর ১ বলেছে তারা ১ বলেছে এই হিসেবে যে,

= ৬÷২(৩)

= ৬÷২ এর ৩ [ ব্র্যাকেট উঠলে 'এর' বা 'of' ]

= ৬÷(২×৩) [ ভাগের আগে 'of'-এর কাজ ]

=৬÷৬

 

এই নিয়ম পুরোপুরি ভুল !! ⚠️⛔

Parentheses-উঠলে কখনোই 'এর' বা 'of' হয় না । গুন হবে Juxtaposition multiplication-এর কারনে, সেটা হোক BODMAS কিংবা PEMDAS । 'এর' বা 'of' এর প্রয়োগ ৩টি :

  1. Fraction (ভগ্নাংশ যেমন 1 ½ = ⅔ )

  2. Order (Exponent বা Power)

  3. Percentage (শতাংশ)

বুঝাই যাচ্ছে, উপরের ক্যালকুলেশনে 'এর' বা 'of' এর চিহ্নমাত্র থাকবে না ।

২য় ভুলটা হচ্ছে, তারা বলে BODMAS/BEDMAS অনুয়ায়ী ভাগ আগে, পরে গুণ । তবে তাও শতবছর ধরে বিতর্কিত । গণিতবিদ Florian Cajori তার A History of Mathematical Notations (১৯২৮) বইয়ে উল্লেখ করেন যে আগে গুণ হবে না ভাগ, তা তখনও অমীমাংসিত । মূলত, গুণ ও ভাগ একসাথে থাকলে তাদের গুরুত্ব একই, আগে-পরে ফ্যাক্ট না (by Elementary PEMDAS rule, quoted by Oliver Knill, Harvard Math Department) । শুধু Left-to-right হিসাব হবে । PEMDAS নিয়মে আগে গুণ হয়, BODMAS-এ হয় ভাগ । কিন্তু মার্কিন গণিতবিদ Webster Well-এর First Year Algebra (১৯১২) বই কিংবা Frank C Touton, Herbert Hawkes, W.A. Luby-এর First Course Algebra (১৯২৫) বইতে স্পষ্টত যোগ-বিয়োগ কিংবা গুণ-ভাগ একসাথে থাকলে বাম-থেকে-ডান করার নির্দেশ রয়েছে । এবং এর সমর্থনে বর্তমানে অসংখ্য প্রমাণও রয়েছে । তাই BO(DM)(AS) বা PE(MD)(AS) উভয়েই পরের হিসাবটা হবে :

= ৬÷২×৩

=৩×৩ [ Left-to-Right ]

= ৯

যদিও বাংলাদেশীদের হিসাবটা ঠিকই ছিল কিন্তু পদ্ধতিটা ভুল ।

 

এখন কেন quantity-1 ও 2 (১, ২নং রাশি) এর উত্তর একেক ক্যালকুলেটরে একেক রকম আসে ?

 

মূলত ঝামেলাটা হচ্ছে ২(২+১) ও ২(৩+১) এই পার্ট নিয়ে । গণিতবোদ্ধাদের একটা বড় অংশ বলছেন,

২(১+২) যখন

= ২(৩) হবে তখন ব্র্যাকেটের আগে কোনো অপারেটর (যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ) না থাকায় Juxtaposition অবস্থার সৃষ্টি হবে যা Implicit Multiplication-এর কারনে :

=২(৩) থেকে (২*৩) তে আগে কনভার্ট হবে, পরে ৬ থেকে ভাগ করতে হবে । প্রকৃতপক্ষে, শত শত বছর ধরেই গণিবিদ, বিজ্ঞানী ও প্রকৌশলীরা এই Juxtaposition ব্যবহার করে আসছেন এবং তাদের প্রায় সবাই একে গুণ-ভাগের চেয়েও উপরে স্থান দেন । তাই PEMDAS হয়েছিল PEJMDAS (পেজমদাস) এবং BODMAS হয়ে গেল BOJDMAS । তবে কেউই বিষয়টা Explicitly উল্লেখ করে যাননি, এদের নামও দেননি ।

PEMDAS-এর অস্তিত্ব পাওয়া যায় ১৯০০ সাল থেকেই । এর সাথে Juxtaposition-এর কাজও করা হতো (যেমন—ব্র্যাকেটের সাথে কিছু না থাকলে গুণ ধরা) তবে তাকে আলাদাভাবে উল্লেখ করার প্রয়োজন কিন্তু মনে করেনি কেউই । এই অস্পষ্টতা বা Ambiguity-ধরা পরে আরো পরে । তবে BODMAS/PEMDAS-কে অঘোঘিত BOJDMAS/PEJMDAS ধরার পক্ষেই সবচেয়ে বেশি রেফারেন্স পাওয়া যায় । যেমন—American Institute of Physics (AIP) Style Guide-এর ২৬ পৃষ্ঠায় 1/3x কে 1/(3x) লিখতে নির্দেশ দেয়া হয় (চাইলে গুগলেও দেখতে পারেন) । অর্থাৎ PEJMDAS-এর ব্যবহার যে প্রচলিত ছিল তার প্রমাণে কোনো সন্দেহ নাই ।

 

১৯৭০-৮০র দশকে TI (Texas Institute) calculator যেমন TI-80, TI-81, TI-85 ইত্যাদি ও CASIO ক্যালকুলেটরগুলোর (২০০১ এর FX-570MS ও পূর্ববর্তী সব) সবই PEJMDAS মেনে চলতো যেখানে 1, 2 নং রাশির মান :

৬÷২(৩)

= ৬÷(২×৩) [Implicit Multiplication/Juxtaposition মেনে which comes before Division-Multiplication]

= ৬÷৬

= ১ দেখাবে ।

পরবর্তীতে TI-83 PLUS, TI-89, TI-Nspire ইত্যাদি ভার্সনে Juxtaposition ও গুণ-ভাগকে এক কাতারে ফেলা হয় অর্থাৎ PEMDAS নিয়মে বাম-থেকে-ডান । আর ২০১৮ সালে CASIO নিজস্ব বিবৃতিতে বলে যে, অনেক North American স্কুল-হাই স্কুল শিক্ষক ও গণিকপ্রেমীদের উৎসাহে ২০০৫ সালে fx-ES series ক্যালকুলেটর(যেটা এদেশে প্রচলিত) দিয়ে PEMDAS নিয়মে সুইচ করে । পরবর্তীতে তারা আবার ২০০৮ সালেই FX-ES PLUS series-দিয়ে আগের সেই PEJMDAS নিয়মে ফিরে যায় যেখানে ব্র্যাকেটের পর Implicit Multiplication-কে গুণ-ভাগের চেয়েও Top priority দেয়া হয় । অত্যাধুনিক fx-100AU PLUS ক্যালকুলেটরে ৬÷২(২+১) লিখলে অটোমেটিক ৬÷(২(২+১)) এই এক্সট্রা ব্র্যাকেট এসে যায় ! দারুন না !!

তাই CASIO-এর যে ক্যালকুলেটরগুলো PEJMDAS/BOJDMAS ফলো করে তারা 1, 2 উভয়ের উত্তর ১ দেখাবে । আর যারা অন্তর্বর্তী PEMDAS ফলো করে তারা যথাক্রমে ১৬ ও ৯ দেখাবে । বাজারে থাকা HP ক্যালকুলেটরগুলো PEMDAS মানে । HP 10s+ আবার PEJMDAS মানে । গুগল PEMDAS মানে আবার WolframAlpha Mathematica মিশ্র রেজাল্ট দেখায় । যেমন :

6/2x = (6/2)*x [আধুনিক PEMDAS/BODMAS]

আবার 6/xy = 6/(xy) [Conventional PEJMDAS]

 

তবে WolframAlpha ব্যতিক্রম নিয়মে PEJMDAS-কে সমর্থন করে ।

x/x/x কে Left-to-Right নিয়মে লিখে (x/x)/x

আবার x^x^x কে Right-to-Left নিয়মে লিখে x^(x^x)

Exponent বা Power-এর ক্ষেত্রে Wolfram-এর ধারনাটা সঠিক । কেননা আমরা যখন log(log(logx)) বা g(h(x)) লিখি, আমরা ডান থেকে বামে কিংবা ভিতর থেকে বাইরে যাই ।

 

এখন আমরা কোনটা মেনে চলবো ?

আগেই বলেছি, বিংশ শতাব্দী পর্যন্ত অসংখ্য গণিতবিদ (বলতে পারেন মেজরিটি অংশ) অবচেতন মনেই Juxtaposition মেনে PEJMDAS/BOJMDAS অনুযায়ী পাটিগণিত ও বীজগণিত করতো (একই সাথে Left-to-Right নিয়মকেও অনেকে সমর্থন করতো) । PEMDAS-এর বিতর্কটা সবচেয়ে বেশি আসে বিংশ শতাব্দীর শেষ থেকে, তাও North American স্কুল শিক্ষকদের প্রভাবে, কোনো প্রসিদ্ধ গনিতবিদ বা ইঞ্জিনিয়ারের রিসার্চের ফলে নয় ! সেখানে তারা Juxtaposition-কে গুরুত্ব না দিয়ে গুণ-ভাগের মতো একই কাতারে ফেলে এবং Left-to-Right নিয়ম ফলো করে । অর্থাৎ আসল প্রশ্নটা হলো Juxtaposition ব্যবহার হবে কি-না তা নিয়ে, গুণ-ভাগের সিক্যুয়েন্স নয় । কারণ তা এক বাক্যে Left-to-Right ।

তাছাড়া আমরা নিজেরাও অজান্তেই বছর বছর PEJMDAS/BOJDMAS কে ফলো করে আসছি । যেমন :

১÷২√৩ কে কিভাবে লিখবো ?

  • (১/২)×√৩ = ০.৮৮৬ [ অধুনা PEMDAS নিয়ম ] নাকি,

  • ১÷(২×√৩) = ০.২৮৯ [ Conventional PEJMDAS নিয়ম ]

নিঃসন্দেহে ২নং নিয়মটাই ফলো করা হয় বেশি (অথবা সবসময়ই)।

আবার 2X/3Y-1 কে কিভাবে হিসাব করি ?

  • (2x/3)(y-1) [ অধুনা PEMDAS ]

  • {(2x)/(3y)} - 1 [ Conventional PEJMDAS ] নাকি

  • (2x)/(3y-1) [বিধি বহির্ভূত]

এখানেও আমরা সচরাচর ২নং-টাকেই বেশি গ্রহণ করে থাকি !! অর্থাৎ শুধুমাত্র স্কুল শিক্ষকদের পছন্দে উত্তর আমেরিকার PEMDAS বা সমমানের BODMAS, বহু পুরোনো Juxtaposition-কে বাদ দিয়ে যে নতুন নিয়ম চালু করেছে, অনেকেই এর বিরোধিতা করেছে ।

যদিও কিছু কিছু ক্ষেত্রে Juxtaposition ছাড়াই আধুনিক PEMDAS নিয়ম শতভাগ সঠিক উত্তর দেয় (যেমন রাশি-1 ও রাশি-2) তবে সব সময় হয় না (যেমন উপরের ২ টা উদাহরণই)। তাই অধুনা North American PEMDAS পুরোপুরি গ্রান্টেড নয় ! এমনকি আধুনিক গনিত লেখক Robert B Ash, তার Basic Abstract Algebra বইতেও Conventional PEJMDAS-কে সমর্থন করেছেন (গুগল করেও দেখতে পারেন)।

তাই মেশিন ও মানুষ, ২ ভিন্ন ভিন্ন সত্তা যে হিসাব করবে তার ফলাফল অবশ্যই ভিন্ন আসবে । এ ক্ষেত্রে যা মাথায় রাখতে হবে:—

  1. ব্র্যাকেট উঠলে গুণ বসবে এবং তার গুরুত্ব গুণ-ভাগের চেয়ে বেশি হবে ও আগে সমাধান করতে হবে Juxtaposition/Implicit Multiplication এর জন্য ('এর' বা 'of' এর জন্য নয়) ।
  2. ঐতিহাসিকভাবে PEMDAS নিয়মে আগে গুণ, BEDMAS/BODMAS-এ আগে ভাগ করা হয় । তবে বর্তমানে গুণ-ভাগ পাশাপাশি থাকলে গুরুত্ব এক ও Left-to-Right ।
  3. লেখক N.J. Lennes-এর মতে '/ বা slash' ও '÷ বা Obelus' ভিন্ন অর্থ বহন করে এবং ব্যবহারে সাবধান হওয়া উচিত ।
  4. Ambiguity ও বিতর্ক দূরীকরণে ব্র্যাকেট ব্যবহার করতে হবে ।

যেমন : ১৮/৩×২

-- এটার মানুষের দেয়া উত্তর ৩, কারণ তারা আদিম PEMDAS ফলো করে ।

-- আবার মেশিনের দেয়া উত্তর ১২, কারণ সেটা উপরের নিয়ম ফলো করে (বাম থেকে ডান) ।

-- আদিম ও আধুনিক দুই BODMAS নিয়মেই ১২ হয় ।

-- আবার আধুনিক PEMDAS নিয়মেও ১২ হয় (ঝামেলাটা বুঝা যাচ্ছে না কারণ Juxtaposition নেই)

আবার ৮÷২(৩+১)

--এটার মানুষের দেয়া উত্তর ৮÷২(৪) = ৮÷(২×৪)=৮÷৮=১, যা শতভাগ সঠিক কারণ তা উপরের সব নিয়ম ফলো করে (Conventional PEJMDAS) ।

--আবার মেশিনের দেয়া উত্তর ৮÷২(৩+১) = (৮÷২)×(৪)=১৬, যা ১ম নিয়মটি অনুসরণ করেনি (অধুনা PEMDAS) । এটিও ভুল নয় ।

--আবার যেসব মেশিন/ক্যালকুলেটর তা ফলো করে (Conventional PEJMDAS), তারা ঠিকই ১ দেখাবে । সেটাও সঠিক । শুধু মেথডটা ভিন্ন । তবে উত্তর '১' টা সবচেয়ে বেশি গ্রহণযোগ্য কারন Implicit Multiplication বহু গণিতবিদ অনুসরণ করেছেন এবং তা বাদ দেয়ায় PEMDAS, BODMAS নিয়মেরও সমালোচনা হয়েছে । এই বিষয়টি আজও Ambiguous বা অস্পষ্ট (অমীমাংসিত) ।

 

তাই কেউ যদি রাশি-1 ও রাশি-2 এর অংক দেয় তাহলে উত্তর দিতে হবে ৫টা :

JUXTAPOSITION RULES ছাড়া :[৮÷২×৪] এবং [৬÷২×৩]

  1. আদিম PEMDAS মানলে উত্তর ১ ও ১

  2. অধুনা PEMDAS মানলে উত্তর ১৬ ও ৯

  3. আদিম BODMAS মানলে উত্তর ১৬ ও ৯

  4. অধুনা BODMAS মানলে উত্তর ১৬ ও ৯

 

JUXTAPOSITION RULES সহ :[৮÷(২×৪)] এবং [৬÷(২×৩)]

  • আদিম ও আধুনিক BODMAS/PEMDAS সবসময়ই উত্তর ১ ও ১

আমি 5-কে সমর্থন করি । আপনি?

.

অনুসন্ধান ও রচনায় : Ridoan's

 

 

সম্পর্কিত প্রশ্নগুচ্ছ

0 টি ভোট
4 টি উত্তর 809 বার দেখা হয়েছে
29 এপ্রিল 2022 "গণিত" বিভাগে জিজ্ঞাসা করেছেন Anupom (15,280 পয়েন্ট)
+1 টি ভোট
1 উত্তর 635 বার দেখা হয়েছে
18 এপ্রিল 2021 "প্রযুক্তি" বিভাগে জিজ্ঞাসা করেছেন Ubaeid (28,310 পয়েন্ট)

10,771 টি প্রশ্ন

18,440 টি উত্তর

4,741 টি মন্তব্য

257,116 জন সদস্য

19 জন অনলাইনে রয়েছে
1 জন সদস্য এবং 18 জন গেস্ট অনলাইনে
  1. M D Akib

    110 পয়েন্ট

  2. LeonardSprou

    100 পয়েন্ট

  3. rr88playcom

    100 পয়েন্ট

  4. ArcherH3772

    100 পয়েন্ট

  5. MariettaPlum

    100 পয়েন্ট

বাংলাদেশের সবচেয়ে বড় উন্মুক্ত বিজ্ঞান প্রশ্নোত্তর সাইট সায়েন্স বী QnA তে আপনাকে স্বাগতম। এখানে যে কেউ প্রশ্ন, উত্তর দিতে পারে। উত্তর গ্রহণের ক্ষেত্রে অবশ্যই একাধিক সোর্স যাচাই করে নিবেন। অনেকগুলো, প্রায় ২০০+ এর উপর অনুত্তরিত প্রশ্ন থাকায় নতুন প্রশ্ন না করার এবং অনুত্তরিত প্রশ্ন গুলোর উত্তর দেওয়ার আহ্বান জানাচ্ছি। প্রতিটি উত্তরের জন্য ৪০ পয়েন্ট, যে সবচেয়ে বেশি উত্তর দিবে সে ২০০ পয়েন্ট বোনাস পাবে।


Science-bee-qna

সর্বাপেক্ষা জনপ্রিয় ট্যাগসমূহ

মানুষ পানি ঘুম পদার্থ - জীববিজ্ঞান চোখ এইচএসসি-উদ্ভিদবিজ্ঞান এইচএসসি-প্রাণীবিজ্ঞান পৃথিবী রোগ রাসায়নিক শরীর রক্ত #ask আলো মোবাইল ক্ষতি চুল কী চিকিৎসা #science পদার্থবিজ্ঞান সূর্য প্রযুক্তি স্বাস্থ্য মাথা প্রাণী গণিত বৈজ্ঞানিক মহাকাশ পার্থক্য #biology এইচএসসি-আইসিটি বিজ্ঞান খাওয়া গরম শীতকাল #জানতে কেন ডিম চাঁদ বৃষ্টি কারণ কাজ বিদ্যুৎ রাত রং উপকারিতা শক্তি লাল আগুন সাপ মনোবিজ্ঞান গাছ খাবার সাদা আবিষ্কার দুধ উপায় হাত মশা শব্দ মাছ ঠাণ্ডা মস্তিষ্ক ব্যাথা ভয় বাতাস স্বপ্ন তাপমাত্রা গ্রহ রসায়ন উদ্ভিদ কালো পা কি বিস্তারিত রঙ মন পাখি গ্যাস সমস্যা মেয়ে বৈশিষ্ট্য হলুদ বাচ্চা সময় ব্যথা মৃত্যু চার্জ অক্সিজেন ভাইরাস আকাশ গতি দাঁত কান্না আম হরমোন বাংলাদেশ
...